[백준] 1629번: 곱셈 - C++

문제 출처:https://www.acmicpc.net/problem/1629

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문제

자연수 A를 B번 곱한 수를 알고 싶다. 단 구하려는 수가 매우 커질 수 있으므로 이를 C로 나눈 나머지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 A, B, C가 빈 칸을 사이에 두고 순서대로 주어진다. A, B, C는 모두 2,147,483,647 이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 A를 B번 곱한 수를 C로 나눈 나머지를 출력한다.

이 문제는 얼핏보면 그냥 A의 제곱을 구하는 간단한 문제로 보입니다. 그러나 막상 문제를 풀어보면 2가지 문제점을 발견하게 됩니다. 

1. 숫자의 범위가 자료형의 표현 범위보다 커진다.

2. O(n)의 시간복잡도로 문제를 풀어도 시간제한에 걸린다.  

1번의 해결방법으론 long long 자료형을 사용하는 것입니다.

그러나 이러한 자료형을 사용하더라도 문제는 제곱수이기 때문에 적은 연산에도 숫자가 기하급수적으로 커지게 되고 결과적으로 long long자료형의 범위도 넘어가버리게 됩니다.

따라서 연산을 할때마다 C로 나눈 나머지로 값을 바꿔주어야 자료형의 범위를 넘지 않고 계산이 가능합니다.

2번은 B의 크기가 최대 2,147,483,647인데 이 수를 for문을 사용하여 그대로 2,147,483,647번 반복한다면 대략 1억번의 반복을 1초라 생각했을때 21초나 걸리게 되어 문제의 시간제한인 2초를 훨씬 넘기게 되버립니다.

따라서 이 문제는 for문을 사용하지 않고 함수의 재귀를 이용하는 분할정복 알고리즘을 이용하여 풀어야 O(log n)의 시간복잡도를 가지게 되고 문제의 최대값이 들어와도 바로 결과값을 나타낼수 있습니다.

분할정복 알고리즘이란 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%ED%95%A0_%EC%A0%95%EB%B3%B5_%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
long long int a, b, c;
int result = 0;
long long int pow(long long int x, long long int m) {
 
    if (m == 0)
        return 1;
    else if (m == 1)
        return x;
    if (m % 2 > 0)
        return pow(x, m - 1)*x;
    long long int half = pow(x, m / 2);
    half %= c;
    return (half * half) % c;
}
 
int main() {
 
    scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &c);
 
    printf("%lld", pow(a, b) % c);
 
    return 0;
}

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